◆Pansci 泛科學選書推薦 世界上最聰明的科學家都曾被考倒的經典難題 英國知名物理學家教你輕鬆破解 從經典的愛因斯坦相對論，到最新的量子力學 9大悖論帶你用最有趣的方式，一次搞懂最偉大的科學發現 ．如果你搭乘時空機回到過去殺死了你的祖父，那你還會存在嗎？ ．貓竟然可以同時處於活著又死亡的兩種狀態？ ．一根竹竿在高速移動下，長度居然會變短？ ．明明是雙胞胎，其中一個人卻比另外一個人大十歲？ 上面這些不合理的問題完全顛覆了我們的知識與邏輯，他們正是科學上所謂的「悖論」(paradox)。從古到今，這些複雜的謎題考驗過無數頂尖的科學家，讓他們百思不得其解。書中介紹了最具代表性的 9 個悖論，它們橫跨整個科學史，對於每個時代科學家們最關注的議題提出質問。這些悖論都屬於「認知悖論」，看似矛盾，但其實只要仔細思考，就可以找出其中的假設漏洞，輕鬆破解。 本書作者被譽為「科普界的明日之星」，他認為這些悖論就像是露出水面的冰山一角，底下隱藏著廣大的科學知識。想一探科學上的諸多奧祕，還有什麼方法比透過破解謎題更有樂趣呢？更別提這些謎題曾經擊敗過世界上最聰明的腦袋！如果你喜歡挑戰自己的邏輯思考，這本書絕對能滿足你的需求，讓你在反覆論證中獲得許多啟發。 【專業推薦】 ◎王道還（生物人類學者） ◎葉李華（《胡桃裡的宇宙》譯者） ◎鄭永銘（前建國中學物理老師） ◎鄭國威（PanSci泛科學網總編輯） ◎簡麗賢（北一女中物理教師） （以姓名筆劃排序） 【好評推薦】 「喜歡心智挑戰和科學謎團的讀者，一定會喜歡這本書裡作者輕鬆有趣又容易了解的討論。」 ──《出版人週刊》(Publisher’s Weekly) 「如果你過去五年來沒有讀過任何一本熱門的科普書，那你一定得看看這本書。」 ──Amazon 讀者評論

◎前言

◎第一章　綜藝秀裡的悖論
◎第二章　阿基里斯與烏龜
◎第三章　奧伯斯悖論
◎第四章　馬克士威的精靈
◎第五章　竿與穀倉的悖論
◎第六章　孿生子悖論
◎第七章　祖父悖論
◎第八章　拉普拉斯的精靈
◎第九章　薛丁格的貓
◎第十章　費米悖論
◎第十一章　未解的問題

導讀

◎文／葉李華

　　所謂的科普書或通俗科學讀物，顧名思義都是以盡量通俗易懂的方式來推廣科學知識。至於如何做到通俗易懂，不同的作者自有不同的法門，例如文筆生動、深入淺出、風趣幽默；例如多舉例子、多講故事而少談學理；又例如盡可能圖文並茂，甚至乾脆以漫畫形式呈現。可是從另一個角度來看，這些法門萬變不離其宗，都是把科學知識軟化之後，用直接的方式灌輸給讀者。只要用心閱讀，你便能學到其中的知識，這就是標準的「學而知之」。

　　然而，本書卻大膽地反其道而行，先利用一個個費解的悖論，令讀者陷入五里霧中，然後再以充滿趣味的方式，鍥而不捨地追根究柢。等到真相大白之際，讀者除了茅塞頓開，還能充分享受到解謎的樂趣。因此閱讀本書時，你並非直接增長見識，而是經歷了一番境界更高的學習過程，所謂的「困而知之」是也。

　　本書最引人入勝之處，正是作者藝高人膽大，敢於挑戰「悖論」這個高難度的主題。為了提綱挈領，底下先試著將書中提到的各種悖論用最通俗的語言整理一遍，括弧中則是內文所採用的正式譯名。

　　一、無解的悖論（真悖論）。

　　二、有解的悖論（認知悖論）：又可細分為「惡性的」（似是而非的悖論）以及「良性的」（似非而是的悖論）。

　　根據這個簡單的分類，我們便能輕輕鬆鬆地認識本書的結構。比方說，第一章是利用幾個數學問題，來介紹「有解的悖論」如何區分為惡性和良性兩種。前者包括「消失的一塊錢之謎」、「伯特蘭箱子悖論」，後者則有「生日悖論」和「蒙提霍爾悖論」。

　　值得一提的是，本書雖以物理學為主軸，卻刻意用數學（主要是機率論）來開場，這個安排可謂用心良苦。正如作者所說，這幾個數學悖論本身都很單純，不必任何預備知識便能消化吸收，因此很適合當成暖身操。就這點而言，本章或許更適合稱為「第零章」。

　　從第二章到第十章則是本書的主要內容，亦即物理學中的九個著名悖論。這些悖論幾乎都是「良性的有解悖論」，只有第七章是唯一的例外，因為「祖父悖論」牴觸了邏輯，是個標準的無解悖論。然而山不轉路轉，物理學家居然想到用「平行宇宙」這個巧門來另闢蹊徑，看到這裡，想必大家都會忍不住拍案叫絕。

　　事實上，在閱讀這九章的過程中，類似的經驗會一而再、再而三地出現。一開始的時候，每個悖論都會令人感到山窮水盡疑無路，但隨著作者仔細抽絲剝繭，我們便能逐漸瞭解科學家如何利用種種巧思，開創出柳暗花明的新境界。

　　本書作者是我十分喜愛的科普節目主持人，在此之前，我早已看過他擔綱的許多科普影集，每每受益良多。讀完本書後，我才驚覺他的科普寫作也是一絕，稱之為科普全才絕不為過。

　　最後我想大聲說一句：Nice Job, Jim!

譯者序

◎文／戴凡惟

　　西方哲學史上第一位哲學家一般公認是古希臘的泰利斯（Thales of Miletus，公元前六二四——五四六年）。他提出的哲學論點非常簡單：「萬物本源為水」。泰利斯所持的理由是，萬物皆由水而生，復歸於水，因此水是萬物的本源。儘管他的論點在今日看來十分天真而粗糙，但卻是西方歷史上人類首度試圖探究世界的本質，並提出以邏輯論證為基礎的解答。這表示人類的智識不再侷限於眼見的表象，而是更進一步探索物質世界背後的本質，這是人類思想史上的里程碑。泰利斯因此被尊為西方哲學之父。

　　 物理學的動機也是如此——試圖在各種自然現象中找出自然界根本的規律性。與哲學不同之處在於，除了邏輯的規範之外，物理學還受惠於數學的發展。各種物理定律不但以數學語言的形式來表達，數學也為物理學提供了量化預測的能力。廣為大眾接受的物理理論（典範理論）不但能夠解釋已知的現象，它所提出的預測也必需與日後的觀測相符。然而，偶爾也會發生典範理論（例如量子論）演繹出看似荒謬的結果（例如薛丁格的貓），這時候物理悖論就誕生了。

　　 作者將悖論區分為兩類，一類導致循環論證或產生自相矛盾，例如究竟先有雞或先有蛋、以及「這句話是假的」陳述等等，稱之為「真悖論」；這種悖論是無法解決的。另一類則是「認知悖論」，也就是論證的結果看起來荒謬或者與直覺相悖，但卻是可以解決的，也就是它其實並非真的是個悖論。本書所討論的乃是後者。

　　 本書探討橫跨古今兩千多年，科學史上最重要的九個悖論，涵蓋了運動學、宇宙論、統計物理、相對論、以及量子物理等範疇。這些悖論之所以重要，有些是因為它們挑戰典範理論，並且在相當的時間之內立於不敗之地（例如歐伯斯悖論）；有些則凸顯出典範理論違背直覺的特性（例如孿生子悖論）。然而不論如何，這些悖論的解決都為我們帶來對於物理世界深刻而重要的理解，因此值得深入探討。

　　 作者吉姆‧艾爾─卡利里教授本身任教於英國薩里大學，不僅是著名的理論核物理學家，也具有豐富的課堂教學經驗。他還是多本科普書籍的作者，並且主持過許多科普廣播與電視節目。這九則重要的科學悖論，透過作者旁徵博引的生動筆觸，深入淺出地介紹給讀者，讀來引人入勝，趣味橫生，不僅適合對於科學有興趣的一般讀者，也能為專業科學工作者帶來意想不到的收穫。

前言

　　悖論（paradox，亦可譯為詭論、謬論、詭局、佯謬、弔詭或矛盾）以各種不同的形式和難度出現。有些只是簡單的邏輯矛盾，沒有深入探討的價值；有些則像是冰山的尖頂，底下是整座冰山的科學知識。許多悖論可以透過謹慎思考，找出基本假設當中一個或多個漏洞來攻破，這種嚴格來說算不上是悖論，因為癥結點一旦突破，它就不再是悖論了。

　　 「真悖論」指的是自相矛盾或循環論證的陳述，或者某種邏輯上不可能發生的情況。然而悖論一詞的運用範圍比字面的意義來得廣，還包括被我稱為「認知悖論」的範疇。這類難題一定找得到破解方法。這種悖論有可能包裝在蓄意誤導聽者或讀者的花招或障眼法之中。一旦花招被揭穿，邏輯上的矛盾或荒謬性就消失了。另一類認知悖論則是，其敘述或結論乍聽之下十分離譜或違背直覺，仔細思考後卻發現其實不然，即便結果多少仍令人驚訝。

　　 物理學上有這種悖論。所有這類悖論只要稍加運用一點基本的科學知識便可解決──嗯，幾乎所有啦。而這些都將是本書關注的重點。

　　 讓我們先簡單介紹一則真正的邏輯悖論，它如此清晰明瞭，所以我並不打算在書中探討它。不過它的陳述方式確實會讓你跳不出邏輯迴圈。

　　 這一則簡單的論述如下：「這句話是假的。」乍看之下每個字似乎都非常直截了當。不過，想一下這一句話，當你仔細推敲其所陳述的含意時，邏輯上的矛盾將逐漸浮現。六個簡單的字就讓你頭痛嗎？果真如此的話，我認為這種頭痛也是好玩的──這句話或許本身也是悖論，而且無疑地你會出於虐待般的快感、轉述給家人或朋友。

　　 你瞧，「這句話是假的」是想告訴你，在宣稱這句話是假的同時，它本身必然也是假的，所以它就不是假的──也就是它是真的，所以這句話真的是假的，也就是真的……諸如此類，陷入一個無窮盡的循環。

　　 有很多類似這樣的悖論存在，但這本書並不打算討論它們。

　　 這本書將探討我個人最鍾愛且著名的科學難題和謎題，它們都是所謂的悖論，但經由正確的角度仔細思索，就能揭穿它們不是悖論。儘管乍聽之下極度違反直覺，但事實上卻是因為漏掉一些微妙的因素，一旦將這些因素考慮進來，就會破壞建構整個悖論的其中一根樑柱，整個構築起來的論點便會傾倒。矛盾雖然已經解決，它們之中有許多仍然被稱為悖論，部分是因為它們在問世之初顯得如此棘手（在我們終於發現自己錯在哪裡之前），部分則是因為稱之為悖論有助於科學家們釐清一些相當複雜的概念。喔對了，還因為它們如此有趣且值得探討。

　　 我們將要探討的許多謎團，乍看之下似乎是真悖論，不僅僅是認知悖論而已。這就是有趣的地方。以著名的「時光旅行悖論」簡化版為例：如果你搭乘一部時光機器回到過去，殺掉幼年的自己，你這位殺手會發生什麼事？你會因為阻止自己成長，倏然之間不再存在嗎？如果是這樣的話，你從未長大成為一名時光旅行殺手，那是誰殺死了幼年的你？年長的你擁有完美的不在場證明──你甚至不曾存在過！假如你並未存在、無法回到過去殺死年幼的自己，年幼的自己就未被殺害，所以可以長大成人，接著回到過去並殺死年幼的自己，於是你又消失了，依此類推。這似乎是個完美的邏輯悖論，而且物理學家也尚未在理論上排除時光旅行的可能性。那麼，我們如何才能擺脫這種矛盾的循環呢？我將在第七章探討這個問題。

　　 並非所有的認知悖論都需要運用科學背景知識才能解決。為了證明這一點，第一章就是用來探討幾個這類的認知悖論，它們只要用常識邏輯就能解決。不知道我的意思是什麼？下面這個簡單的統計悖論，如果從某個基本的關聯性來思考就可能得出錯誤的結論：我們都知道，有較多教堂的城鎮普遍犯罪率較高。這似乎說不太通，除非你相信教堂是孕育不法犯罪的溫床。但無論你的宗教和道德觀為何，這都是不可能的。解答非常直截了當：為數較多的教堂和較高的犯罪率，都是較多人口自然產生的結果。A導致B與A導致C，並不意謂B導致C，反之亦然。

　　 接下來還有另一個簡單的動動腦謎題，乍聽之下自相矛盾，可一旦妥善解釋，它的矛盾特性就消失無蹤了。它是由我的同事兼摯友，一位蘇格蘭裔的物理學教授在多年前向我講述的。他聲稱，「每一位南下到英格蘭的蘇格蘭人，都提高了兩個國家的平均智商」。關鍵在於：由於所有蘇格蘭人都聲稱自己比任何英格蘭人更聰明，只要他們其中任何一位住到英格蘭去，都會提高英格蘭的平均智商；不過離開蘇格蘭是愚蠢的行為，只有那些不怎麼聰明的人才會這麼做，所以他們離開後，剩餘蘇格蘭人的平均智商就提高了些。你瞧，乍看之下它像是矛盾的敘述，但只消運用簡單的邏輯推理就能輕鬆解決──當然，這對英格蘭人而言完全不具說服力。

　　 在第一章中，我們將享受破解一些著名悖論的樂趣，無需用到任何科學。隨後我們將繼續探討我所挑選的九則物理悖論。每敘述一則悖論之後，我將抽絲剝繭揭開其奧秘，並解釋如何破解它，揭開其基本邏輯，顯示其謬誤以及它何以不再成為真正的問題。這些悖論都很有趣，它們不但有一些知識的精華在其中，也有解決之道等著我們發掘。你只需要知道哪些地方值得關注，哪裡可以找到致命的弱點，並透過謹慎推敲以及對科學更深入的了解來破解這些弱點，直到悖論不再是悖論為止。

　　 其中有一些是耳熟能詳的悖論。以薛丁格的貓為例，它描述一隻不幸的貓被鎖進一個密閉的箱子裡，在我們打開箱子前一直同時處於死亡和活著的狀態。另外一則或許讀者沒那麼熟悉、但有些人仍然聽過的悖論，則是馬克士威的精靈，這個神秘的存在管轄另一個密閉的箱子，而且貌似能夠違反最神聖的科學定律（也就是熱力學第二定律），迫使箱子中的混合物分離並呈現秩序。為了理解這類悖論及其解答，讀者必須掌握一些基礎科學知識，所以我給自己設下的挑戰是，在帶來最低困擾的限度下，幫助讀者理解這些科學概念。這樣即使你不具微積分、熱力學與量子力學的專業知識，依然能欣賞這些悖論並享受其意涵。

　　 這本書中，還有好幾則悖論是我從過去十四年來所教授的大學部相對論課程中擷取而來。愛因斯坦對於空間和時間的觀點，為邏輯難題提供了豐富的素材，例子包括了竿與穀倉悖論、孿生子悖論和祖父悖論。至於其他悖論，例如牽涉到貓與精靈的那些，在某些人的眼裡還沒有得到令人滿意的答案。

　　 在挑選最重要的物理之謎時，我並沒有駐足在尚未解決的最大問題，例如暗物質與暗能量（它們占了我們宇宙95％的組成成分）是由什麼組成，或者宇宙在大霹靂之前有些什麼。這些是極困難而深刻的問題，科學迄今尚未找到答案。諸如「構成星系大部分質量的神秘暗物質本質是什麼」的問題，或許在不久的將來可望獲得解答──假如日內瓦的大型強子對撞機能持續獲得令人振奮的新發現。至於像是「對於宇宙大霹靂前某一時刻的精確描述」這類問題，可能永遠都沒有答案。

　　 我的目標是做出明智和廣泛的選擇。在接下來的章節中探討的所有悖論，處理的都是攸關時間與空間本質的深刻問題，以及宇宙在最大和最小尺度上的特性。有些是理論預測的結果，乍看之下非常詭異，然而一旦仔細探究理論背後的構想，就不那麼難理解了。親愛的讀者，讓我們一起來看看能不能搞定它們，以及在過程中會帶給你什麼樣的神奇樂趣。

第一章　綜藝秀裡的悖論

簡單的機率，顛覆你的思考邏輯

　　在深入物理世界之前，我想先用幾個簡單有趣卻又令人挫折的腦力激盪遊戲暖個身，慢慢帶領讀者入門。以下的例子與本書其餘章節的共同之處在於，它們都不是真正的悖論，只要細心思考即可破解。然而，不同於往後各章的悖論需要相關的物理基本知識，本章所探討的只是一些邏輯方面的益智遊戲而已，不需任何科學背景即可解答。其中最後一個也是最有趣的一個，稱為蒙提霍爾悖論（Monty Hall Paradox），由於它特別令人困惑，因此我將使用較多的篇幅以數種不同方法來分析這個問題，讓讀者自行選擇最容易接受的答案。

　　本章所有悖論都屬於聽起來有點饒舌的「似非而是的悖論」與「似是而非的悖論」其中一種。「似非而是的悖論」所帶來的結論因為有違常理而與直覺相牴觸，不過透過看似簡單（其實卻不然）的仔細邏輯推理，就能證明其結論為真。事實上，整個過程的樂趣就在於，試圖找出最能令人信服的證明方法──儘管令人感覺其中有詐的不自在感一直揮之不去。稍後將討論到的生日悖論（Birthday Paradox）以及蒙提霍爾悖論都屬於此類。

　　「似是而非的悖論」則是從完全合理的陳述出發，卻峰迴路轉得出離譜的結論。與「似非而是的悖論」不同之處在於，由於推理過程中某些步驟無形中產生誤導或謬誤，這些荒謬結論確實為偽。

　　透過幾個演算步驟而得證諸如「2=1」這類的數學把戲，正是「似是而非的悖論」的範例──沒有任何邏輯推理或哲學辯證能夠令人相信這個結論為真。有鑑於各位讀者不見得像我這麼熱愛數學，我也不願意用數學計算來打擊大家，本書將不會深入這些細節。一言以蔽之，這些運算過程通常牽涉到將某個數字除以零的步驟，而這正是任何自重的數學家都知道要不計代價去避免的。相反地，我將專注於幾個只需基本數學能力就能鑑賞玩味的問題。首先登場的是兩個著名的「似是而非的悖論」：「消失的一塊錢之謎」（The Riddle of the Missing Dollar）與「伯特蘭箱子悖論」（Bertrand’s Box Paradox）

消失的一塊錢之謎

　　這是我幾年前在名為《心靈遊戲》（Mind Games）的電視猜謎節目中擔任來賓時，用過的一個精采難題──當然，我並不是說自己是第一個想出這個問題的人。這個節目的內容是，每週來賓們彼此競賽解答數學家主持人馬可斯‧杜‧索托伊（Marcus du Sautoy）教授提出的問題。除此之外，來賓也會各自帶來最喜歡的難題來挑戰對手。

　　問題如下：

　　三位旅客到某家旅館投宿。年輕的櫃檯接待員給他們一間有三張床的房間，收費三十元。他們協議平分住宿費用，每人支付十元之後，便拿了鑰匙進房間安置行李。幾分鐘之後，櫃台接待員發現自己弄錯了，旅館這一個禮拜正好有特價促銷活動，他應該只收他們二十五元。為了避免被旅館經理找麻煩，他立刻從收銀機中取出五塊錢，並且趕緊上樓去彌補他所犯的過錯。在前往旅客房間的路上，他想到五元無法由三個人平分，於是決定退給每位旅客一元，自己留下兩塊錢。他自認為這是個讓每個人都滿意的好辦法。以下是我們要解決的問題：每位旅客為他們的住宿各付出九元，總計佔了原本旅館收費三十元當中的二十七元，另外二元被接待員拿走，那麼三十元裡的最後一元哪裡去了呢？

　　也許聰明的讀者一眼就看出這個問題的解答。不過當我第一次碰到這個問題時，當然沒這麼厲害囉！所以在繼續讀下去之前，我願意讓你花點時間想想看。

　　想出來了沒？你瞧，是因為敘述上的誤導才使得這個問題聽起來自相矛盾。推理過程出錯之處在於：將客人付的二十七元與服務生拿走的二元加總在一起──這樣算根本毫無道理，因為總金額已經不再是三十元。服務生拿走的二元要從旅客支付的二十七元當中扣掉，所以收銀機裡的總金額應該是二十五元才對。

伯特蘭箱子悖論

　　「似是而非的悖論」的第二個例子由十九世紀法國數學家約瑟夫‧伯蘭特（Joseph Bertrand）提出。（他最著名的悖論並不是這個，而且比這個更需要數學專業。）

　　有三個箱子，每個箱子裡各有兩枚硬幣，放置方式如下：每個箱子都隔成兩半；每一半各放一枚硬幣，而且蓋子可以單獨打開來查看裡頭的硬幣種類（但不允許查看另一枚）。第一個箱子裡放了兩枚金幣（代號GG），第二個箱子裡放了兩枚銀幣（代號SS），第三個箱子則有金幣和銀幣各一枚（代號GS）。請問你選到內有金幣跟銀幣的箱子機率有多少？答案的確很簡單：三分之一。這一點都不難。

　　接著，隨機挑選一個箱子。如果打開半邊的蓋子發現裡面是金幣，那麼這個箱子是GS箱的機率有多少？在發現一枚金幣的當下，你已經知道這個箱子不可能是SS箱，排除之後只剩兩種可能性：GG箱或GS箱。因此它是GS箱的機率就是二分之一，沒錯吧？

　　假如打開蓋子出現的是銀幣，我們就可以排除GG箱的選項，剩下的只有SS箱或GS箱兩種可能，所以選到GS箱的機會依然是二分之一。

　　由於打開選定的蓋子出現的不是金幣就是銀幣，而且每種硬幣各有三枚，若兩者出現的機率相同，那麼不論出現何種硬幣，你都有一半的機率選中GS箱。也就是說，往某個箱子的其中半邊裡瞧了一眼之後，選中GS箱的整體概率竟然從一開始的三分之一變成二分之一。可是，只不過才瞧了某個硬幣一眼，怎麼會使機率產生這麼大的變化？如果隨機選出一個箱子，打開其中一個蓋子之前，你知道選出的箱子有三分之一機率是GS箱；然而，僅僅憑著看到其中一枚硬幣，究竟是怎麼使得機率從三分之一突然變成二分之一的？畢竟這個動作並不會帶來新的資訊，因為你心裡明白，出現的不是金幣就是銀幣。究竟哪裡出問題了呢？

　　正確答案是，不論是否察看其中一枚硬幣，選到GS箱的機率一直都是三分之一，而非二分之一。首先考慮從箱子裡找到一枚金幣的情況：金幣共三枚，姑且稱他們為G1，G2和G3。假設GG箱裡放的是G1和G2，G3在GS箱裡。如果你打開其中一個箱蓋並且發現一枚金幣，那麼你有三分之二的機率打開的是GG箱，因為看到的金幣可能是G1或G2。這枚金幣是G3的機率只有三分之一，與你選中GS箱的機率一樣。

生日悖論

　　這是最著名的「似非而是的悖論」之一。不同於前兩個例子，這種悖論不耍花招，沒有邏輯推理上的謬誤，也不使用敘述上的障眼法。我必須強調，不論讀者是否相信其解答，它在數學與邏輯上都是完全正確的，並且具有一致性。這種面對問題的挫敗感在某種程度上提高了破解此悖論的樂趣。

　　以下是生日悖論的表述：

　　你認為房間裡至少要有多少人，才能讓其中任意兩人同一天生日的機率超過一半──也就是說，任意兩人生日相同的機率比不同來得高？

　　先讓我們來運用一下直觀的常識（當然稍後會證明是錯的）。一年有365天，可以想像成大講堂裡有365個空座位。100位學生進入講堂，每個人隨機選了一個座位。有些人可能想跟朋友坐在一起；有些人喜歡最後一排的隱蔽性，讓他們可以在課堂中打瞌睡不被發現；較多學生則選擇離講台較近的位置。然而他們坐在哪裡並不重要，因為超過三分之二的座位仍然空著。當然，沒有學生會去坐已經有人的座位，而我們總覺得講堂裡有這麼多座位，兩位學生搶同一個位置的機會相當微小。

　　如果將這種常識性的思維方式應用到生日問題上，我們可能會認為，在可選的生日與座位一樣多的情況下，這100位學生當中任何人跟別人同一天生日的機會也一樣微小。當然，難免有少數一起過生日的死黨，但我們覺得發生的可能性比不發生來得低。

　　如果換成一群為數366人的學生（先不管閏年），很自然地，不須多作解釋就很清楚，我們可以確定至少有兩個人生日在同一天。然而，當學生人數逐漸減少，情況卻開始變得有趣起來。

　　以下所述也許會讓讀者感到不可思議──事實上，房間裡只需要57個人，就可以讓任意兩人同一天生日的機率超過99％。也就是說，只要57個人，就幾乎能確定其中有兩個人同一天生日！這個答案聽起真是令人難以置信。若只針對問題來回答，任意兩人生日相同的可能性比不同還高（也就是機率超過一半）所需的人數則遠低於57。事實上，只要23個人就足夠了！

　　多數人初次聽到這個答案莫不大吃一驚，甚至在確認過解答的正確性之後依舊感到渾身不自在──這在直覺上的確太令人難以接受了。所以，我們接著來詳細探討其中的數學，我會儘可能將它說清楚。

　　我們首先假定一些預設條件，儘量使問題簡化：排除閏年的狀況、一年中所有日期作為生日的機率都相同、而且房間裡沒有雙胞胎。

　　許多人所犯的錯誤在於，他們認為這個問題是兩個數字之間作比較：房間裡的人數與一年中的天數。由於共有365天可作為這23人的生日，因此避開彼此生日的機會似乎遠比撞在一起來的高。但是這種看待問題的方式卻造成誤導。試想，為了能讓兩個人的生日在同一天，我們需要的是成對的人，而非單獨的個體；因此應該考慮的是不同配對方式的總數。首先從最簡單的狀況出發：如果只有三個人，那麼總共有三種不同的配對：Ａ—Ｂ，Ａ—Ｃ，Ｂ—Ｃ。若是四個人，配對的可能性增加到六種：Ａ—Ｂ，Ａ—Ｃ，Ａ—Ｄ，Ｂ—Ｃ，Ｂ—Ｄ，Ｃ—Ｄ。當總人數達到23人時，我們發現總共有253種不同的配對方式（註）。到這裡讀者是否發現，相較於原本的答案，要相信這253種雙人組合其中一組的生日剛好是365個日期之一，是否變得簡單多了呢？

　　計算這個機率的正確方法是：從一組配對開始，逐漸增加人數，並且觀察生日相同的機率如何變化。這個方法的訣竅在於，我們直接計算的並非新加入者與別人一同過生日的概率，而是避開所有其他人生日的機率。如此一來，第二個人避開第一個人生日的機率就是364÷365，因為他可以在一年中頭一個人生日以外的任何一天出生。第三人與前兩人生日錯開的機率是363÷365。然而別忘了前兩人仍得避開同一天生日（有364÷365的機會）；在機率論裡，如果我們想知道兩個獨立事件同時發生的概率，就得將第一個事件出現的機率乘上第二個事件的機率。因此，第二人避開第一人生日，以及第三人同時避開前兩者生日的機率，就是：（364／365）×（363／365）＝ 0.9918。最後，如果以上結果是三個人生日完全錯開的概率，那麼其中任意兩人生日相同的機率就是1－0.9918＝0.0082。因此在只有三個人的情況下，生日出現在同一天的機會非常微小，正如讀者所預期。

　　接著繼續進行相同的步驟——逐一增加人數，建立一串連乘的分數算出所有人錯開彼此生日的機率，直到總乘積低於0.5（也就是50％）為止。這時候就會得到任意兩人生日相同機率超過百分之五十所需的人數。我們發現，共需要22個分數連乘就可以讓總乘積小於0.5，也就是22個人：

　　（364／365）×（363／365）×（362／365）×（361／365）×（360／365）×……＝ 0.4927…

　　← 22個分數連續相乘 →　　

　　於是房間裡任意兩人生日在同一天的機率便為：

　　 1－0.4297＝0.5073＝50.73%

　　解開這個難題需要一些機率論的知識。相較之下，下一個悖論就某些方面來說較為淺顯易懂，而我認為這點更令它顯得不可思議。這是我最喜歡的真悖論，因為它的陳述是如此簡單，如此容易解釋，卻又難以透徹理解。

　　 【註】：用來計算不同配對方式總數的數學方法稱為「二項式係數法」（binomial coefficient）。這個例子的算法如下：（23 × 22）÷ 2 = 253

作者：吉姆．艾爾-卡利里(Jim Al-Khalili) 譯者：戴凡惟 出版社：三采文化 書系：Focus 出版日期：2013-04-04 ISBN：9789862298749 城邦書號：A2000498 規格：平裝 / 單色 / 232頁 / 14.8cm×21cm