美國最受歡迎的數學教授、 《數學教你不犯錯》作者喬丹．艾倫伯格的最新大作， 以數學對現實世界進行深度的解析。 本書帶你邂逅新的幾何學： 流行病傳播的幾何學、混亂美國政治進程的幾何學、 職業棋士的幾何學、人工智能的幾何學、 英語的幾何學、財金的幾何學、物理的幾何學， 以及詩的幾何學。 「這本書怎麼可能這麼有娛樂性？這不合理啊！它揭示了幾何思維如何促成從更公平的美國選舉、到更好的流行病規劃。」―紐約時報 幾何學不是歐幾里得，早就不是了。它不是散發著教室氣息的文化遺產，而是一門活生生的學科，正以前所未有的速度前進。 這本書讓你邂逅新的幾何學。 包括我們正在經歷的COVID-19流行病的傳播。本書告訴你流行病傳播不是醫學，而是數學，更嚴格來說是幾何學。因此，該如何透過找出流行病的圖形，來理解每日染疫人數的變化，預估疫情高峰與結束的時間，並說明為什麼流行病的控制不追求完美主義？ 還有美國式民主的政治進程，若不是運用幾何學的洞察，還真的不容易揪出背後的操作與不公平！作者舉他的故鄉威斯康辛州為例，說明共和黨人如何透過選區劃分，讓共和黨在國會中的席位屹立不搖，以此介紹了「傑利蠑螈」的存在。以及若沒有幾何學的抽絲剝繭，分辨其中政治操作的訣竅，還真容易遭到蒙蔽。果然只要改變選區的形狀，就能改變選舉結果！ 作者更一一分析職業棋士的幾何學、人工智能的幾何學、英語的幾何學、財金的幾何學、物理的幾何學，以及詩的幾何學。原來，每個事物都有其幾何結構，數學不只是理性的分析和掌握，更是對於事物內在形狀的直覺感知和洞悉，幾何學可說是數學中最饒富興味、最感性的一支！ … 本書為《紐約時報》暢銷書《數學教你不犯錯》作者喬丹．艾倫伯格的新作，艾倫柏格本身為世界一流的幾何學家，在本書中顛覆我們對幾何的認知，開啟我們對幾何的嶄新力量的大門，讓我們對幾乎所有事物產生更深入的理解與認識。 過去兩百年間在教室裡的典型幾何學課程，是將歐幾里得當成博物館文物，那些證明是用來記憶、背誦、甚至欣賞的，一個人如何能想出這些證明完全沒被提及。但如今我們不再要求學生背誦歐幾里得，而是透過幾何學訓練學生養成嚴謹推理的心智習慣。但幾何學的意義遠遠超過這個。 但凡科學、政治以及哲學問題背後都隱藏著幾何結構。在希臘文中，「幾何學」這幾個字具有「測量世界」的偉大含意，但這層意義低估了幾何學。事實上，幾何學不僅能測量世界，還能闡明世界。幾何學會問：物體的位置和樣貌如何？哪些事物彼此相近？你可以如何從一件事推出另一件事？這些都是重要的問題。 透過幾何學的眼鏡，不難發現以下問題都與幾何學息息相關： •民主政治該如何選擇代表？ •該如何阻止傳染病席捲全球？ •電腦如何學習下棋？ •為什麼對電腦來說，學會下棋比學會閱讀要簡單多了？ •古希臘的黃金比例可以用來預測股市嗎？ •如果你的孩子想學會思考，該在學校裡學習什麼？ 此時此刻，幾何學正在隨著人工智能，深入到我們生活的每一個面向，重新塑造我們居住的城市成為新興的幾何學都市。且讓我們穿透表面現象，看穿事物內在形狀，從而瞭解事物背後的運作。 【專文推薦】 ◎洪萬生 (台灣數學史學會理事長) 「本書有關美國選舉制度及疫病（特別是 COVID-19）的數學問題（本書歸類為幾何學）之說明，一定可以讓關注或參與類似活動的博雅君子感同身受。中學教師也可以在課堂上引進這些例子及其說明，來強調數學並非遠在天邊的彩虹，而是就在我們身邊，與日常生活的推論密不可分。 因此，我要鄭重推薦本書。這是一部極成功的普及書寫作品（作者想必投注相當的心力），值得我們普及作家仿效，更值得教師引入教育現場，充當閱讀良伴。」 出奇有趣的新書……《形狀》真的把幾何學變有趣了……以艾倫伯格的妙語如珠（以及他對19世紀美髯的欣賞），《形狀》的真功夫在於將幾何井井有條地化為文字。……對艾倫伯格來說，幾何不是逃離現實的去處，而是生命中的一股力量——可以用來為善或為惡，也可以用來玩味。幾何連結擴展了我們對世界的看法，以及真實與抽象之網。如同詩人瑞塔‧多芙所寫：「我證明了一個定理，然後房子變大了」。 —Parul Sehgal, The New York Times 艾倫伯格的詳盡闡述，對數學中人性的探索，以及令人拍案叫絕的最終章，捍衛以公平及科學為基礎的民主，再再提醒我們，為何他是美國最受歡迎的數學教授。 —Daily Beast 引人入勝、鞭辟入裡。 —The New York Times Book Review 艾倫伯格從幾何的意義寫到幾何在現代社會中的作用，層面廣泛，眼界益發廣闊，文筆益發活潑。 —The Telegraph ［喬丹‧艾倫伯格］維持了與前作一貫的魅力……幾乎人人都會喜愛艾倫伯格的文章和見識。 —Harvard Magazine 將嚴謹的數學寫得深入淺出、妙趣橫生……一則則幽默的數學軼聞，引人深入數學理論之海。 —Kirkus 數學教授艾倫伯格（《數學教你不犯錯》）以輕快的筆觸，呈現深度數學對現實世界問題的解析……對數學感興趣的讀者對世界將有更深刻的瞭解。 —Publishers Weekly 《形狀》是數學著述中的得意之作，以流暢文筆及令人捧腹的幽默揭露深刻的真理——從距離的性質到隨機的可預測性——以及深刻的錯誤——從歷史的錯誤歸功到最高法院大法官的冥頑不靈。艾倫伯格對其主題及讀者的熱情洋溢筆端，使我們深感幸運，得以聽他以親切口吻娓娓道來他最喜愛的主題，數學。 —Cathy O’Neil, author of Weapons of Math

【目次】 推 薦 很難明白這其實很簡單 洪萬生 前 言 物體的位置及其樣貌 第01章 「我投歐幾里得一票」 第02章 一根吸管有幾個洞？ 第03章 不同事物、相同名字 第04章 人面獅身像的碎片 第05章 「他的風格是無敵」 第06章 試誤的神祕力量 第07章 人工智能登山學 第08章 你是你自己的負一層表親及其他地圖 第09章 三年的星期日 第10章 今天發生的事明天也會發生 第11章 可怕的增長率 第12章 葉中之煙 第13章 空間的皺摺 第14章 數學如何破壞民主（又如何加以挽救） 結 語 我證明了一個定理　然後房子擴大了 誌謝 注釋 圖片來源

第二章 一根吸管有幾個洞？ 對於我們這些專職於數學的人來說，每當網路上因為某個數學問題而糾結個一兩天，我們總是感到很開心，我們得以看著大家發現並享受我們一輩子樂在其中的思考模式。要是你有一棟很棒的房子，你會很樂見客人突然來訪。 通常能引起這類關注的問題都相當不錯，雖然一開始看似無聊，但能抓住眾人注意力的是遇到真正數學題目的那種感覺。 舉例來說：一根吸管有幾個洞？ 大部分我問過的人都認為答案很明顯，當他們知道有人所謂OB的答案和他們的不同，他們通常會非常驚訝，甚至有點惱怒。這是數學版本的「還有別的想法等著你」（You’ve got another think coming）和「還有別的事等著你」（You’ve got another thing coming）之爭。 就我所知，吸管的洞這個問題，最早是出現在《澳大拉西亞哲學期刊》（Australasian Journal of Philosophy）1970年的一份論文，由夫妻檔史黛芬妮（Stephanie）和大衛路易斯（David Lewis）提出，當時討論的物體是紙巾捲筒。2014年這個問題以投票形式，再度出現在一個健身論壇裡。在健身論壇裡這個論述呈現的方式與《澳大拉西亞哲學期刊》不同，但爭議的重點很一致；「零個洞」、「一個洞」和「兩個洞」的回答各有大量支持者。 然後兩名大學朋友爭辨到底是一個洞還是兩個洞，結果愈來愈憤怒的SnapChat影片開始流傳開來，甚至吸引超過一百五十萬人次觀看。這個稻草問題開始傳遍Reddit和推特，還上了紐約時報。一群年輕、美麗帥氣、對洞極度困惑的BuzzFeed員工，拍攝了一支影片，同樣也獲得數十萬人次點閱。 也許你已經開始在心裡設想主要論述了，讓我們重述一遍： 零個洞：吸管是以長方形塑膠片捲起黏合而成，長方形沒有任何洞，你在將它捲起時也沒有打上任何洞，所以它還是沒有洞。 一個洞：這個洞就是吸管的中空部分，一直從頭延伸到尾。 兩個洞：看就知道了啊！上端一個洞，下端一個洞！ 我的第一個目標是要說服你，你對有幾個洞感到困惑，即使你以為你沒有。這幾個看法都有嚴重瑕疵。 我先推翻零個洞的說法，一個東西不需被移去任何物質也可以出現洞。貝果的做法不是先做出實心麵包再打個洞，不是——你是揉出長條狀麵團，然後將兩端接合做成貝果。要是你否認貝果上有洞，你會被笑到在紐約市待不下去，或蒙特婁，或全世界任何有自尊的熟食店。我想不用多說了。 那兩個洞的論點呢？這裡有個問題值得想一想：要是吸管有兩個洞，一個洞結束而另一個洞開始的地方在哪裡？若你還不為所動，那就拿一片瑞士乳酪來說好了，有人要求你數它有多少洞，你是分別數上面有幾個洞和下面有幾個洞嗎？ 或者這樣：把吸管的底端封住，這樣聲稱有兩個洞的人士所謂底部的洞就沒了。現在這吸管有點像是高高瘦瘦的杯子，杯子有洞嗎？有啊，你說——頂端的開口就是洞。好，那要是杯子變得愈來愈矮胖，直到變成煙灰缸呢？我們肯定不會說煙灰缸上面那一圈是「洞」吧？但要是在杯子變煙灰缸的過程中，洞消失了，那到底是何時呢？ 你也許會說，煙灰缸還是有洞，因為它有個凹陷，一個本來可以有東西實際上卻沒有的負空間。洞又不是一定要「從頭通到尾」，你堅持——想想我們說地上有個洞是什麼意思！這是相當好的駁斥，但要是我們對什麼算洞的標準如此寬鬆，任何凹痕或缺口都算，那這個概念就會被擴大到毫無用處了。當你說水桶有洞，你的意思不是桶底有個凹痕，你是指它盛不住水。你在實心麵包上咬一口，也不會讓它變成貝果。 那就只剩下「一個洞」了，這也是三個選項中最多人選的。現在就讓我替你毀了它吧。當我問我的朋友凱莉（Kellie）關於吸管的問題時，她對一個洞理論的反駁非常簡單：「這代表嘴巴和肛門是同一個洞嗎？」（凱莉是瑜珈老師，所以會傾向以生理結構角度看事情），好問題。 但假設你是那些願意大膽接受「嘴巴=肛門」等式的人，還是有其他問題。在那對大學生的SnapChat影片裡有個場景（說真的，自己去看吧，我實在無法用文字和舞台指令，漂亮地傳達出那種逐漸累積的挫敗感），哥一是一個洞理論的代言人，哥二屬於兩個洞派： 哥二[拿起花瓶]：「這有幾個洞？這是一個洞，對吧？」 [哥一發出反對聲] 哥二[拿起紙巾捲筒]：「所以這有幾個洞？」 哥一：一個 哥二：「怎麼會？」[再度拿起花瓶]「這兩個有一樣嗎？」 哥一：「因為要是我在這裡打一個洞」[手指花瓶底] 「它還是一個洞啊！」 哥二[惱怒]：「你剛說，要是我在這裡打一個洞。」 [發出挫敗激動的聲音] 哥一：「要是我在這裡打一個洞那就是——」 哥二：「對——另一個洞，包括這個洞！兩個！結束！」 在這一幕中，兩洞派哥表達了一個令人激賞的原則：在一個東西上多加一個洞，理應增加它的洞數。 讓我們弄得更難一點：一件褲子有幾個洞？大多數人會說三個：腰部和腿的兩個洞。但要是你把腰部縫起來，就變成一個彎折的牛仔布大吸管。要是你一開始說有三個洞，那封上一個，應該剩下兩個洞，而不是一個——對吧？ 若你是認為吸管只有一個洞，那也許你會說褲子只有兩個洞，那把腰部封住後就只剩一個。這個答案我經常聽到，但這個答案跟吸管兩洞理論有一樣的問題：要是褲子有兩個洞，是哪兩個，一個結束而另一個開始的地方又在哪裡？ 或者你的看法是褲子只有一個洞，因為你所謂的洞，指的是褲子內部的負空間。那要是我在膝蓋的地方割一個洞呢？那也不算嗎？不算，你堅持，還是只有一個洞；你那巧妙地一割，只是讓洞多了一個開口。要是你把褲腳都縫起來，或是塞住吸管的底部，你也不是消除了洞，只是封住了洞的入口或出口。 但這又讓我們繞回到煙灰缸是否有洞的問題，或者更糟：假設我有一個吹大的氣球，根據你的說法，氣球有一個洞——也就是壓縮的空氣存在氣球內的區域。要是我拿針在氣球上刺一個洞，它會爆開，剩下的就是一個橡膠圓盤，也許上面還綁著一個結。一片圓形橡膠顯然沒有洞，所以你把本來有個洞的東西，刺了一個洞，然後它就沒有洞了。 你現在被弄糊塗了嗎？我希望如此！ 數學沒有回答這個問題，並不完全。它無法告訴你，你說的洞（hole）這個字到底是什麼意思——那是你和與你對話者之間的問題。但它可以告訴你，你可能是什麼意思，那至少不會讓你被自己的假設絆倒。 先讓我從一個令人惱人的哲學口號開始，吸管有兩個洞；但它們是同一個洞。 …… 第十章 今天發生的事明天也會發生 不太令人放心 羅斯關於流行病增長的看法，是受一潛在原則所主導，事實上它是所有數學預測暗含的那一個原則，也就是：今天發生的事，明天也會發生。所有勞神費力的細節，都是為了找出在實際運用時這代表了什麼。 這裡有一個最簡單的範例。假設一傳染性病毒帶原者，在感染期間平均感染另外兩人，而染病期間就說是十天好了。如果一開始有一千人感染，十天後就約有另外兩千人被感染。原來的一千人康復後不再感染，但下週這兩千人又會再感染另外四千人，再下一週又是另外八千人會染病。所以過了四週後的染病人數會是： 第 0 天：1000 第 10 天：2000 第 20 天：4000 第 30 天：8000 這種數列被稱為幾何級數（geometric progression），雖然它跟幾何的關聯有點隱晦。來源是這樣的：每個數字都是它前一數字及後一數字的幾何平均數（geometric mean）。可是平均數是什麼意思？幾何平均數又是什麼？ 這裡的平均數也是一種平均值。你習慣的平均值應該是取在數線上兩個數之間的中點。例如1和9的平均值是5，因為5跟1差4，也跟9差4。這種叫做算術平均數（arithmetic mean），我想是因為它是從加減運算得出才有此命名。如果一個數列中的每個數都是它前一個和後一個數的算術平術數，這種數列就叫算術級數。 幾何平均數是另一種平均值，要取得1和9的幾何平均數，你要先畫出邊長為1和9的長方形。 幾何平均數是面積與此長方形相等的正方形的邊長（希臘人很愛用正方形來算面積；這是他們屢敗屢戰想要化圓為方的原因之一）。幾何平均數是柏拉圖的最愛，據說他認為幾何平均數是最真實的平均數。這個長方形的面積是1×9＝9；如果一個正方形的面積與它相等，它的邊長就應該是自身相乘後等於 9 的數字，也就是以一種曲折冗長的方式來說3，所以1和9的幾何平均數就是3，而且1, 3, 9是一個幾何級數。 現在我們更習慣用一種不同但相等的方式來定義幾何平均數；數字x與z的幾何平均數為 y，則y/x＝z/y。 與這條簡潔的公式相比，柏拉圖在鼓吹幾何平均數時，把自己繞進了多麼拗口的語言迷陣： 如今最好的聯結，是一種真真正正將自身與由它所聯結的事物結合在一起的聯結，而這在事物的本質上最好通過比例來實現。對任三個數而言，可以是實數或平方數，任何二數之間的中間項是這樣的，第一項之於它是什麼，它之於最後一項也是這樣；反過來說，最後一項之於中間項是什麼，它之於第一項也是這樣。因為中間項既是第一項又是最後一項，那麼最後一項和第一項同樣也都會是中間項，因此它們必然相互具有相同的關係，並且，有鑑於此，將全部結合為一。 現在知道代數符號的好了吧！ 病毒以幾何級數擴散不是因為它們喜歡計算長方形面積，也不是因為它們讀過柏拉圖；它們這麼做是因為病毒擴散的機制，上週感染數與這週感染數的比率，會和這週感染數與下週感染數的比率相同。今天發生的事，明天也會發生，而在我們之前舉的例子中，每過十天， 新病例數就會乘以 2。當一個數列呈現增長的幾何級數時，我們說它呈指數式增長。人們常用「指數式增長」作為「飛速增長」的同義詞，但前者的定義明確許多。每位數學老師都很想要一個例子，能讓學生切身瞭解指數增長（exponential growth）如何表現。很不幸地，我們眼前 就有這樣一個例子。 人類原廠等級的直覺很難理解指數增長。我們習慣物體以等速前進，如果以時速 60 英里駕車，你每小時的行駛總距離會是 60英里、120英里、180英里、240英里⋯⋯ 這叫做算術級數—前一項和後一項的差始終不變，數字以等速成長。 幾何級數就不同了；我們的心智把它們解讀成原本緩慢穩定可控的成長，突然以駭人幅度陡然上升。但就幾何學來說，成長的速度從未改變，這週和上週一樣，只是惡化了兩倍。這場災難完全是可預測的，但我們不知為何就是覺得難以預料。聽聽約翰．艾希伯里（John Ashbery）的話，他可能是唯一提到過幾何級數的美國重要詩人，他在1966 年的詩作〈最快補救〉（Soonest Mended） 就像幾何級數友好的開始 不太令人放心⋯⋯ 在COVID-19爆發初期受創最深的義大利，疫情在最初一個月就奪走一千條人命，接下來的一千名死亡案例卻在短短四天內發生。在2020年3月9日，疫情早已擴散至全球之際，一名美國官員卻極力淡化這項威脅，拿它與每年死於流感的數千名美國人相比：「目前有五百四十六例新冠病毒的確診案例，二十二例死亡，想一想！」一週後每天有二十二名美國人死於 COVID-19，再一週後是將近十倍。 不過幾何級數有好的也有壞的。假設帶原者把他們的小小朋友平均傳給0.8人而不是 2 人，那麼感染的幾何級數就會是這樣： 第 0 天： 1000 第 10 天： 800 第 20 天： 640 第 30 天： 512 接下來的四個數字更漂亮： 第 40 天： 410 第 50 天： 328 第 60 天： 262 第 70 天： 210 這是指數衰減（exponential decay），一個輕掠而過的流行病的數學特徵。 這個數字—幾何級數中每一項與前一項的比率—意義重大。一旦它大於 1，病毒就會快速傳播到可觀比例的人口之中，如果它小於1，疫病就會消退。在流行病學圈中，它被稱為R0。在1918年春季爆發的西班牙流感，據估算R0為1.5，2015年至2016年透過蚊子傳播的茲卡（Zika）病毒則是2左右。至於麻疹，以1960年代的迦納（Ghana）來算是14.5 ！ R0小的流行病看起來會是這樣： 大多數人，如果有傳染給別人的話，只會傳染給一個人，感染鏈通常會漸漸消退，不會過度擴散。如果R0大於1，你就會看到它分枝出去： 當R0比1大很多時，你就會看到快速的指數增長，疫情不斷分裂出新分枝，感染更多的人。 如果這種疾病在感染後就可免疫，這些分枝永遠不會回頭找上已經染病過的人，那麼這種疫病的網路就會像是我們之前看過的幾何圖形：樹形。 這個 R0＝1 基本門檻的存在，是羅斯關於流行病的理論核心。羅斯發現瘧疾是透過蚊子傳播，這是一項重大進展，但這也造成某種程度的悲觀主義。要殺死蚊子很容易，但要殺死所有的蚊子就很難了。所以你可能會認為要阻止瘧疾擴散是不可能的任務。並非如此，羅斯堅持道。只要附近有瘧蚊，其中一些就會叮咬染上瘧疾的人，然後在附近亂飛，再叮咬還未染上瘧疾的人，所以瘧疾會不斷擴散。不過只要蚊子的密度夠低，魔法數字R0就會降到 1 以下，也就代表病例數會一週比一週少，疫情也會呈指數衰減。你不必防止所有的傳播；只要防止足夠的傳播就行了。 這正是 1904 年羅斯在聖路易博覽會上宣導的。他的隨機漫步論點則是為了說明，一旦某一地區的蚊子數量減少後，至少要花上一段時間，才會有足夠數量的蚊子遷回該區，以至於再度超過疫病門檻。這也是防治COVID-19的關鍵概念，我們不需追求零擴散，雖然這樣當然很好，但不太可能。流行病的控制並不追求完美主義。

作者：喬丹．艾倫伯格(Jordan Ellenberg) 譯者：蔡丹婷 出版社：鷹出版 書系：鷹之眼 出版日期：2022-06-01 ISBN：9786269597642 城邦書號：A5610009 規格：平裝 / 單色 / 512頁 / 16.5cm×22.5cm