史丹佛大學數學教育系教授、PISA顧問寫給家長與老師的最佳伴學／教學指南 國內外數學教育家、國中小數學教師一眾口碑推薦 暢銷增訂改版   學數學需要大膽地胡思亂想，不怕犯錯和困難 拋開高智商偏見，捨棄數學天分迷信 想逆轉痛苦的數學學習經驗，先培養成長型思維！ 擔心孩子沒有數學天分發展會被局限嗎？孩子討厭、害怕數學該怎麼辦？  針對大多數家長及學生的痛苦與盲點，史丹佛數學教育系教授裘．波勒，用神經科學與教學現場的多年經驗告訴你：相信孩子比填鴨教育更有效！ 增訂版在原版深入且詳盡的研究基礎上，補充了原版出版迄今最前沿的研究成果，以及追蹤和更新過往研究的最新狀況； 同時作者亦透過重新審視當前教育環境提出更全面的見解，是家長及老師可直接使用的數學教育創新實作手冊！ ▍成長型思維是什麼？ 成長型思維是相信大腦與能力可以藉由學習變強大的信念。研究證實，學習能刺激大腦創造、強化或連結神經路徑。強大的神經網絡能讓學習表現提升，啟動成果與動機共同成長的正向循環，促使孩子朝「向上的學習軌跡」發展。 ▍如何建立孩子向上的學習軌跡？ 犯錯時給予鼓勵，甚至「鼓勵犯錯」和「面對困境」 我們都該知道犯錯和困境是難能可貴的學習機會，假設極端一些，當孩子答對所有題目時，你可以說：「唉，真是可惜，因為那表示你沒機會學到東西。」 ♦和孩子一起想想：「為什麼是這樣？」、「還有沒有其他方法？」 學習解題時，要常引導孩子在理解數學觀念後思考做法和題目之間的關聯，更必須互動交談，找出更多種解法。例如求解18×5可以怎麼做？為什麼合理？還有沒有另一種作法？ ♦教導孩子圖像化地思考數學 引導孩子如同數學家般，不只是做計算，更必須提出好問題，甚至把想法畫下來，因為「畫出數學」遠比呆坐空想或寫出數學算式更能激發想像力。 ♦鼓勵孩子運用直覺與想像力 若讓孩子思考如何求出檸檬的體積，他們或許會花費很多時間提出數種錯誤的方法，但真正的數學正是需要如此，因為在未知的數學領域中，無數的嘗試和錯誤是歸納出系統性解法的必經途徑。 ♦建立孩子的數感 數感就是可以靈活運用數字的能力，需要對數字有概念，以及對數字與數字之間的關聯有深刻的理解。例如計算19×19，有些孩子傾向直接相乘，但有數感的孩子知道可以先把19都看成20-1，讓原本複雜的二位數乘法也可以輕鬆得出答案，而且不靠死記硬背。 家長及老師的職責是讓孩子有機會見識數學的自由、廣博與美麗，透過成長型的數學思維讓他們自信地在數學世界裡碰撞與成長，並且讓他們相信，只要付出努力，人人都是數學家。 ▍國內推薦 林福來　國立台灣師範大學名譽教授暨數學教育中心創辦人　 林怡辰　彰化縣原斗國中小教師 蔡依橙　素養教育工作坊核心講師、臉書專頁「蔡依橙的小孩教養筆記」板主 ——專文推薦 賴以威　「數感實驗室」共同創辦人 ——專文導讀 李國偉　中央研究院數學所退休研究員 李信昌　數學網站「昌爸工作坊」站長 洪士薰　台南女中數學教師 洪雪芬　超腦麥斯創意思維數學課程總監 高敏慧　台北市民生國中校長、曾任臺北市數學輔導小組召集人 許德田　新北市國民教育輔導團數學領域召集人、新店國小校長 陳維民　EECC創始人 彭甫堅　台中市立中港高中教師、「數學咖啡館」創辦人 蔡宇哲　哇賽心理學創辦人兼總編輯 蘇恭弘　台南市新課綱創思教學研發中心專任研究教師暨國中數學輔導團輔導員 ——強力推薦 ▍海外佳評 錯誤、努力、創造、美感、靈活、平等──裘・波勒用這些關鍵詞描繪出一幅數學的學習願景，每個學生在裡面成長茁壯，成為真正的思考者。依循波勒的指示，我們可以把過去幾十年，關於「數學天分」的陳舊觀念永遠消除掉。 ──凱西・希莉（Cathy Seeley），美國數學教師協會（NCTM）前會長，《Faster Isnt Smarter》及《Smarter Than We Think》作者 裘・波勒絕對有資格厭倦所有關於數學教育的胡說八道，因為她看過太多的孩子遭受傷害。她挺身迎戰，並用大量的科學數據當作武器，這都是支持數學教育徹底改革的有力論據。如果對她的論點置之不理，你和你的孩子將會被排除在二十一世紀之外。 ──齊斯・德福林博士（Dr. Keith Devlin），史丹佛大學數學家、美國國家公共廣播電台（NPR）「數學專家」，《新時代的數學教育》（Mathematics Education for a New Era）作者 裘・波勒喚醒削弱學生興趣的思維以及其改變的方法。她不僅提供正向的訊息，更詳述了實用且經過研究證實的教學、評量、實踐及回家作業策略，這一切都是在協助學生學習並喜歡上數學。 ──丹・梅爾（Dan Meyer），前數學老師，Desmos平台學術長、作家兼顧問

各界推薦 推薦序 導讀 錯誤是學習的起點！ 序 第二版作者序 前言 第一章 大腦與數學學習 第二章 犯錯與困境的力量 第三章 數學的創造力與美 第四章 培養數學思維：靈活運用數字的重要性 第五章 豐富多變的數學課堂活動 第六章 追尋平等之路 第七章 從分軌教學到成長型思維分組 第八章 評量成長型思維的成效 第九章 促進成長型思維的數學教學 參考資料 附錄一 附錄二

〈CHAPTER 1 大腦與數學學習〉 過去十年我們看到許多技術出現，讓研究人員有新的機會探索心智與大腦的運作。現在科學家可以在兒童和成年人做數學的時候進行研究，監測腦部的活動；他們可以觀察大腦的發育和退化，以及看到不同的情緒及狀況對大腦活動的影響。近年來出現了一個涉及「大腦可塑性」的領域，讓科學家很驚訝。過去我們認為，與生俱來的大腦是無法改變的，不過這個看法現在已經徹底證明是錯的。一項又一項的研究已經顯示，大腦有不可思議的能力，能夠在極短的時間裡發展與轉變（Abiola & Dhindsa, 2011; Maguire, Woollett, & Spiers, 2006; Woollett & Maguire, 2011）。 當我們學習新概念時，有三種可能性會出現（見圖1.1）：第一種是大腦內會出現一條新的路徑，學習得越深入，這條路徑就越強；第二種可能是你會強化一條已經存在的路徑；最後一種可能則是你會將兩條現有的路徑連結在一起。這種大腦發展時時刻刻都在執行，而這些被建立、強化或連結在一起的路徑，都不是與生俱來的，而是由你的學習經驗創造。 我希望所有學生都能了解：當你在教他們數學，你也是在改變他們的大腦！神經科學家諾曼．多吉（Norman Doidge, 2007）喜歡和他的聽眾分享這件事：每天醒來時，你的大腦都與前一天不一樣——這是每天發生的大腦生長和變化程度。如果深入學習某件事情，就會形成可重新探究並使用的永久大腦路徑，但如果某個想法你只探究一次，或以粗淺的方式探究，那條路徑可能就會像沙地上的足跡般「消散掉」。這些大腦連結在學習發生時形成，但學習也不僅僅發生在課堂上或閱讀時；我們都知道，在進行交談、玩遊戲或玩具，以及在許多其他經歷的過程中，我們都在形成大腦連結。 針對倫敦黑色計程車司機腦部發展的研究結果震驚了科學界，而這是第一份對於神經可塑性（neuroplasticity）的研究。我是英國人，在倫敦搭過很多次計程車，還記得小時候興奮地跟家人坐幾小時的車到倫敦一日遊，這些都是美好的回憶。成年之後，我在倫敦大學國王學院讀書、工作，於是有更多機會搭計程車在倫敦到處跑。倫敦地區有幾種計程車在營運，但在倫敦最常見的就是黑色計程車（稱為Black Cab，見圖1.2）。 我在倫敦搭黑色計程車穿街走巷的大部分歲月裡，我並不曉得那些司機多麼駕輕就熟。原來，要在倫敦開黑色計程車，申請人必須先受訓至少四年，記住查令十字街（Charing Cross）方圓二十五英里內的兩萬五千條街道和兩萬個地標。在倫敦市要學會認路，比起大部分的美國城市更具挑戰性，因為倫敦的格局不是棋盤式的，而是成千上萬交織、相互連通的街道（見圖1.3）。 受訓結束時， 這些黑色計程車司機需要接受檢定， 這項檢定就簡單又直接地稱為「知識大全」（The Knowledge）。如果你坐在倫敦黑色計程車上，跟司機問起「知識大全」，他們通常會很樂意告訴你這個檢定多麼難考，並跟你分享他們受訓期間的故事。「知識大全」是全世界公認要求最嚴格的課程之一，申請人平均要考十二次才有辦法通過檢定。 在二十一世紀初，科學家決定研究倫敦黑色計程車司機，想找尋多年下來複雜空間訓練對這些司機腦部造成的改變，但那些科學家沒料到結果竟然這麼驚人。研究人員發現，計程車司機腦部的海馬迴在受訓結束時明顯增大（Maguire et al., 2006; Woollett & Maguire, 2011）；而海馬迴（hippocampus）是腦中負責取得並使用空間資訊的區域（見圖1.4）。 科學家也做了其他的研究，把黑色計程車司機的腦部生長和倫敦公車司機的腦部生長進行一番比較。比起計程車司機，公車司機只要熟記單一的路線，這些研究結果也顯示，他們的海馬迴沒有類似的增長（Maguire et al., 2006）。這就證實了科學家所做的結論：黑色計程車司機的腦部有驚人增長，是因為他們接受格外複雜的訓練。科學家在進一步的研究中更發現，黑色計程車司機退休後，他們的海馬迴又會縮小下來（Woollett & Maguire, 2011），但這不是因為年紀增長，而是缺乏使用這些路徑。 現在已經有很多針對黑色計程車司機所做的研究（Maguire et al. , 2006; Woollett & Maguire, 2011），都顯示出大腦有一定程度的適應性或可塑性，這讓科學家很吃驚。他們先前並沒想過居然會測出這麼大幅度的腦部生長，這也使得科學界對於「學習」、「能力」以及「大腦是否有可能改變與成長」的想法有所轉變。就在黑色計程車司機研究出現的同時發生了另一件驚動科學界的大事。九歲女孩卡麥蓉．莫特（Cameron Mott）患有嚴重的癲癇，很多醫生都束手無策。 她的內科醫生喬治．傑羅醫師（Dr. George Jello），提議採取根本而又極端的療法：切除她的左半腦。這是項革命性的手——幸好最後也成功了。卡麥蓉在手術後幾天癱瘓，醫生們都推測她會有幾年的時間處於肢體障礙，因為左半腦掌管的是肢體動作，但幾個月之後，她的肢體及動作的恢復狀況讓醫生目瞪口呆，而這只說明了一件事——她的右半腦發展出執行左半腦功能所需的連結。 這些醫生都認為這是大腦不可思議的可塑性所致，他們只能推斷，卡麥蓉的腦實際上是「重新長出來的」，新腦生長得比醫生們想像的還要快（https://www.today.com/health/meet-girl-half-brain-1C9402834）。 這項手術現已在許多人身上進行過了。克莉絲汀娜．桑豪斯（Christina Santhouse）八歲時就動過這個手術，切除了半個腦。克莉絲汀娜後來獲得許多矚目的成就，包括高中時進入榮譽榜、拿到碩士學位及成為語言治療師。 關於腦可以增長、適應、變化的一些新發現，讓科學界大為震驚，也促使科學家紛紛利用不斷發展出來的新技術與腦部掃描設備，重新研究人腦與學習。其中有一項研究由美國國家心理衛生研究院（NIMH）的研究人員進行，他們讓受試者每天進行十分鐘的訓練，持續三週，然後把受試者的大腦和對照組進行比較。結果顯示，每天訓練幾分鐘的人的大腦發生了結構性的變化。總共十五個工作天、每天進行十分鐘的心智任務，這些參與者的大腦呈現出「重新布線」（rewired）和增長的反應（Karni et al., 1998）。 在另一項關於數學學習的研究中，泰瑞莎．尤庫蘭諾（Teresa Iuculano）和她在史丹佛大學醫學院的同事發現了極重要的資訊。他們把兩組學生帶到實驗室，其中一組在學校診斷出有數學學習障礙，另一組是有「正常」表現的學生。他們透過磁振造影（MRI）掃描，觀察兩組學生做數學題時的腦部變化，結果發現了十分有趣的差異——診斷出有學習障礙的學生在做數學題時，有更多的腦區亮起來。 這對許多人來說是違反直覺的，因為他們會認為有學習障礙的學生腦部活動較少，而不是更加活躍。這些研究人員指出，成就未必來自更加活躍的腦部活動，反而集中在特定腦區的活動。接下來的研究變得更加有意思。他們讓兩組學生接受為期八星期的一對一輔導，在八週結束時，兩組學生不但有同樣的成績，而且活化的腦區完全相同（Iuculano et al., 2015）。 以上和更多研究的結果或許能促使教育工作者揚棄那些仍然充斥在校園裡、既傳統又根深柢固的想法：認為孩子不是聰明就是笨；不是學得快就是學得慢。如果大腦能夠在八個星期內就產生顯著改變，而且（持續）給予學生有趣的任務，讓他們接收到對自己潛能的肯定，那麼上了一年的數學課會發生什麼變化也就可想而知了。在第5 章將會解釋哪種本質的數學課堂活動最能幫助學生感受到這樣的改變。 來自大腦研究的新證據告訴我們，只要教學和傳遞的訊息是恰當的，人人都能學好數學，都能在學校獲得最好的成績。雖然有一些孩子情況特別，有特殊的教育需求，會增加數學學習的難度，但對於絕大多數（大約95％）的孩童來說，任何程度的學校數學都在能力範圍內。不僅如此，在經診斷在學習上有特殊需求的孩子身上，大腦增長變化的潛力也同樣強大（另見Boaler & LaMar, 2019）。 發生在澳洲的一件好事清楚說明了這一點。尼可拉斯．萊奇福德（Nicholas Letchford）在成長過程中，被診斷出「患有學習障礙」，在上學的第一年，他的父母得知他「智商非常低」，老師還告訴他們：「他是他們教書二十年來見過程度最差的孩子。」 尼可拉斯覺得很難專心、了解東西之間的關係、認字或寫字，但尼可拉斯的母親蘿依（Lois）拒絕接受貼在她兒子身上的標籤，她陪在尼可拉斯身邊，教他怎麼專心、了解關係、認字和寫字。二○一八年，尼可拉斯從牛津大學畢業，拿到了應用數學博士學位——這是可能達到的最高成就（Letchford, 2018）。 家長和老師必須從神經科學和人的紀錄中獲知這些資訊。我在工作坊和演講中與老師們分享這兩種證據時，大多數人都受到鼓舞和啟發，但還有少數持保留態度。最近我和一群老師交換意見，有一位高中數學老師顯然深受這個想法所困擾。 他說：「你該不會是要告訴我，我學校裡的任何一個六年級學生升上十二年級時都可以修微積分吧？」當我說出「這正是我要說的意思」，可以看出對方真的受這個想法困擾——然而他沒有完全排斥這個想法，這點值得讚許。無論什麼人都能學習高階數學，是某些老師覺得難以接受的想法，特別是他們已經花了很多年來判定誰可以、誰不可以學數學，且採取了相對的教學方式的話。 當然，六年級學生打從出生以來就已有許多經歷，接收過許多訊息，會阻礙他們當中一些人的發展，甚至有些學生升上六年級時具備的數學知識，可能比其他人少很多，但這不代表他們不能急起直追，達到最高的程度——如果受到所有學童應有的高品質教學與支持，他們就能做到。 經常有人問我，我是否認為每個人的腦袋生來都是一樣的。並不是。我的意思是，孩子一生經歷的大腦增長經驗，遠比任何先天的大腦差異來得重要。 一般人都認定，我們生來的模樣決定了我們的潛能；他們會舉公認為天才的名人當作例子，譬如愛因斯坦或貝多芬。然而現在科學家知道，我們出生後的學習經歷會蓋過出生時存在於大腦的任何差異（Wexler in Thompson, 2014）。 大腦每分每秒都在創造、強化和相互連結其路徑，只要給予學生激勵的訊息和豐富的數學環境，什麼事都難不倒他們。大腦的差異雖然會讓一些人在起步時有優勢，但具備這種先機並且因而獲得長期優勢的，只是極少數人。此外，被稱為天才的那些人，往往會強調自己付出多少努力和犯了多少錯誤。 大家公認的天才當中，最出名的大概就是愛因斯坦，他到九歲時才會識字，而且經常講自己的成就來自所犯過的錯誤以及所展現的堅持。他會盡力嘗試，出錯了就更加努力，他以成長型思維者的態度思考研究工作與人生。許多科學證據顯示，成功者與不成功者的差異不在於與生俱來的大腦，而在於他們看待人生的態度、接收到與自己潛能有關的訊息，以及擁有的學習機會。當學生對自己有信心，最好的學習機會就會出現。 太多學生因為在學校裡得到否定訊息而阻礙學習，這些訊息讓他們以為自己不如人，沒有別人具備的潛力。這本書就是要提供各位需要的資訊，不管你是老師還是家長，目的就是要給學生需要且應該要有的自信；要把他們放在一條通向數學思維的學習軌跡上，不論先前的經驗是好是壞。正如後面各章會描述的，這條新的軌跡是要讓學生改變看待自己的方式，也要改變他們思考數學這門科目的方式。 雖然我的意思不是每個人的腦袋生來都一樣，但我還是要說，並沒有所謂的「數學腦」或「數學天分」。沒有誰生來就懂數學，也沒有哪個人天生欠缺學習數學的能力。很不幸的是，相信資賦優異的這個信念十分普遍。 近來有些研究人員想知道大學教授對於各自的領域是否需要資賦的相信程度（Leslie, Cimpian, Meyer, & Freeland, 2015），結果他們驚人地發現：數學界的教授對於誰能念數學，最固執己見；他們還發現，在越重視資質的學術領域，擁有博士頭銜的女性就越少，而且對領域專業能力的信念，與他們調查的三十個學術領域的女性人數，兩者是相關的。在教授相信只有「資優者」才能有所成就的那些領域，女性人數之所以比較少，是因為對於誰真正適合的刻板信念仍舊普遍存在，就如第6章所描述的。我們必須改變對於數學學習的見解，在跟學生交談與互動的過程中採取更公正開明的觀點，這對我們的社會勢必會有幫助。 學校需要認真考量這些大腦的新科學研究，向所有人傳達人人都能學好數學（包括高等數學），這可能會是開啟不同前途的關鍵未來，數學創傷將成往事，各種出身背景的學生都能獲得良好的數學學習機會。

作者：裘．波勒(Jo Boaler) 譯者：畢馨云 出版社：臉譜 書系：數感 出版日期：2024-12-03 ISBN：9786263155398 城邦書號：FN2005X 規格：膠裝 / 全彩 / 368頁 / 17cm×23cm