「有感」閱讀，培養數學素養的好奇種子 文／謝佳叡 國立臺北教育大學數學暨資訊教育學系教授 ░「數學總在你意想不到的地方發揮作用！」這是我在大學開授的數學跨領域課程中首要傳達的核心概念，試圖讓那些已經對數學失去興趣與信念的人重新認識數學。由於數學的「不可直接感知」，大多數人產生「生活用不到數學」的迷思並不令人意外，但我們不能責難於此，因為「數學之用」本就無法靠著別人跟我們述說就直接感受到的，必須思考體驗才能理解；換句話說，數學之眼是一種心靈層次，而非感官層次的感知，這也是《數學為什麼：我的第一本數學小百科‧關於形狀和數字的驚奇》這一本書的初衷。本書從日常的數學開始，將各種數學主題，如存款利息、網路密碼、手機音樂、氣象報導、建築……等內容，藏在本書的某個角落等著讀者去挖掘，目的就是希望透過各種不同的例子告訴讀者，我們不能天天使用數學，卻忘恩負義的說：「生活都用不到數學」。 筆者自小生活在臺灣南部偏鄉。當時全村只有一個紅綠燈，孤立設置在唯一一所國小門口。該處並非十字路口，也幾乎沒有車輛會經過，燈號也只在上、下學的時候運作。之所以在這個地方設置紅綠燈，並不是為了實際調節交通任務，而是學校為了讓全鄉的學童體驗「紅燈停、綠燈行」的規則特意申請安裝的，否則孩子沒看過紅綠燈，這個規則也只會是書本上的知識。然而，這個出於善意的設置，卻讓許多接送學童的家長，在等待紅燈時不時的抱怨：「這個地方為什麼要有紅綠燈？」 紅綠燈的設置原本是對路權使用的宣告，學校從教育的觀點與民眾從實用的觀點看其設置的必要性，兩者並不一致，沒有誰對誰錯，只是切入角度的不同。我們還可以從網路上查到更多關於紅綠燈的問題，例如：為什麼燈號是紅、黃、綠三種顏色？這些顏色又代表什麼意義？紅綠燈的設定規則是什麼？…… 乍看之下一連串的問題都和數學無關，但如果進一步追問，就發現問題核心圍繞著數學打轉。 例如，使用紅、黃、綠三種燈號，是因為這三種顏色的光波波長較長，不易發生色散，穿透能力強且較不受天候與塵霾影響。而波長，與數學有關。也許有讀者會爭辯，「這是物理，不是數學！」好，我們換個說法。紅綠燈設置的條件有其特別的規定，並非所有路口都能設置，只有每小時汽車的交通量達一定標準的路口才可以設置；而這個標準的設定與判斷，就需要數學計算。 讀者或許又會提出，「這是統計，不是數學！」那麼，我們再換個說法。有關紅綠燈秒數的設定，需要同時考慮車流、路寬、路段速限、號誌時相、人的心理作用等因素，並且涉及到最優化數學模型、賽局理論、壅塞學、排隊理論等原理，像是我們經常使用的「韋伯斯特法」計算方式，就是一個數學模型；甚至，有些學者還會針對車流的數學模型，探討紅路燈與圓環的規劃設計哪個比較好。而這些，都是實打實的數學，只是大家身在其中卻都看不到。當然，我們不需要、也不可能要求每個人懂了這些數學原理才能過馬路，但我們的生活周遭，確實圍繞著數學，甚至可以說，我們的世界是由數學所支配，只是這些數學很多都無法被察覺。 人們會有生活用不到數學感受的另一個原因，是學校在數學課所提供的許多數學例子，並不是從實際生活經驗而來，導致學生感受不到數學如何運用於生活中；像是「雞兔同籠」的數學問題，姑且不論現今誰會把雞和兔同籠飼養，就算真有如此情況，想知道雞兔各有幾隻，為什麼不直接「數」就好了呢？透過頭和腳數量來求解，不是更麻煩嗎？老師們其實都知道，這個問題是為了讓學生學會「利用數量關係解決問題」的想法而刻意設計的，可惜的是，受限於教學場域與教學時間，教師無法對於這些問題從何而來、從何而用有太多著墨。由此來看，在這個講求跨領域的教育思潮下，本書作為學校數學內容加深加廣的課外讀物，顯然是一個絕佳的選擇。 本書想傳遞給讀者的另一個觀念是，數學真正的精神不是在「算」，而是「算」背後的想法。因此，如果把學校數學學習大致分成「為什麼（WHY）要用這個方法來解這個問題？」以及「如何（HOW）把這個答案算出來？」兩個部分，前者的「WHY」才是學校數學真正應該著重的，一旦進入到「如何算出答案」階段，那就是技術層面的問題了。學生會算、能算固然重要，但如果沒有想法，再強的計算能力也將無施力之處。 遺憾的是，我們經常在還沒有好好認識數學背後的意義與原理之前，就開始大量計算的練習，導致學生常常在複雜的計算題卡關，被抽象的數學公式、規則弄得頭昏腦脹，之後不得不放棄。因此，能對數學的意義追本溯源，才能引發學生的學習熱情，而這正是本書所欲倡導的：「其實，數學源自於我們的生活，只要搞懂理論背後的意義和運用原理，數學一點都不難，還很迷人！」換言之，本書的一個核心理念在於，興趣的產生不是憑藉著花俏的教學方法，而是孩子腦中對於瞭解「為什麼」背後真相的渴望。 數學的「實用性」與「趣味性」本就是兩種不同的情意指標，兩者兼備（有用又有趣）固然理想，但退而求其次能具備其一也屬難得。然而在TIMSS的國際數學評比中，臺灣孩童在這兩項數學情意感受中都敬陪末座，這說明我們並沒有在數學教育中，說服孩子們學數學的理由與目標。學生並非一開始就不喜歡數學，許多研究告訴我們，在國小低年級時數學經常是學生最喜歡科目之一，除了數學課堂上教師們經常設計各種有趣的操作活動，更重要的是一開始的數學內容如數字、測量、形狀、時間等，都是伴隨著他們成長的生活元素；帶著經驗進入學習單元，一切都變得那麼有感；而「有感」就會讓學生「有成就感」。 當學校的數學內容隨著年級漸漸脫離具體，「有感」變得更加困難，想要帶著經驗進入學習單元，就必須仰賴廣泛的閱讀。從這本書的內容來看，絕對當得起「數學小百科」這樣的稱號。從跨領域數學普及角度看，本書內容以數學為核心，連結自然、天文、遊戲、建築、人文、音樂、運動、生活等其他領域，也十分值得推薦給非數學專長者作為數學通識教材。從閱讀的年齡層來看，本書內容從最根本的數字起源，到高等數學中的微積分、拓撲學等，適合從兒童到成人的任一個階段。閱讀方式可以從頭一路到尾，也可以隨便翻到某一頁深入探索；讀不懂或沒有興趣的主題，則任意跳開、隨意自在。 最後筆者想說的是，本書最大的價值不在提供完整的數學知識，而是讓讀者能從閱讀中對數學萌生出「為什麼」的好奇種子，而這個好奇種子生根萌芽產生更多的種子，最後孕育出生意盎然的「數學素養」大地。░